1543.-Три теоремы на воде и его отсутствии формы

Teor 1: Imagenemos река, и давайте помещать шестиугольную сеть в часть промывочного канала, между двумя берегами. Мы выбираем шестиугольники случайным образом, и размещаем в них колонну из цемента (если два соседние, они объединяются герметично).

Только есть два возможных результата: или остался открытым курс воды, или колонны формируют дамбу. Окончательно, вся игра Hex заканчивает с победой одного из игроков.

* * *

Teor 2. В плоской области мы размещаем колонны одни рядом с другой, герметично объединенные колонна i с ними i-1 и i+1 (и только с ними), таково, что первая и последняя также были приклеены. Остаются два отдельных района, питомник, который мы можем наполнять водой без того, чтобы он происходил с другой.

* * *

Teor 3: В квадратном пруду, мы приводим в движение воду (мягко) и по крайней мере точка не двинется (или воды открываются).

Предупреждение: предстоящие параграфы содержат демонстрацию. Он может быть опущенным в первой, второй, третьей одной... чтение. simbolito √ перед какими-то номерами 2 имеет в виду 'корень'. html не math-friendly.

Давайте видеть: если каждая точка переместила по крайней мере дистанцию h, давайте покрывать поверхность с сетью треугольников диаметра d меньше в h (мы скажем в конце концов, кто h и d).

Давайте красить верхи красного, если координата x изменила h / √ 2 или больше. Если не, мы это красим зелени (координата и он изменил h / √ 2 или больше).

дорога - только указательный знак, он мог бы быть любым другим

Останется дорога красных верхов или один зеленых (я заменил треугольник колонной, если у него есть по крайней мере два красных верха: у него есть дамба, или перемещает воду). Давайте предполагать, что дорога красная, он не имеет значения. Он начинается в в *, и координата x увеличила по крайней мере h / √ 2. Он прибывает в b *, где он уменьшил по крайней мере h / √ 2. Потом, в каком-то моменте, случилось изменение знаков: в двух верхах того же треугольника отпустил по крайней мере 2 h / √ 2 (который больше в h).

Сейчас, мы нуждаемся немного в анализе, чтобы говорить, кто h и d:

Если T - преобразование, которое приводит в движение воду, и норму euclídea T (x, y) - (x, y) он не аннулируется, превосходящий один h, (так как она постоянная).

Образы двух точек квадрата из-за T будут на расстоянии меньше, чем h, если они были на расстоянии меньше в один d ' (так как T однообразно постоянная).

Потом, если d он меньше в d ', есть два верха того же треугольника, где функция прыгает более. Смешно!

* * *

Эти три большие теоремы эквивалентные между собой. Не тяжело показывать какую-то более или менее общую версию как только у одного есть идея.

На них, давайте говорить, что первый это идентифицирует в Иордан. Gauss это использовал несколько декад раньше, не показывая, считая это 'очевидным'.

Brouwer, intuicionista, отрицал 'традиционную' математику, но его теорема установленной точки показала быть большой полезности в классической математике. Применение, которое он сделал, состояло в том, чтобы обобщать тот Иордана в Rn, меняя кривые на гиперповерхности. Кажется, что Poincaré это интуитивно чувствовал: его идея состояла в том, что, если бросали сахар в чашке кофе и вращались, какой-то гранит на поверхности не изменял место (его теорема ergódico - одна из стольких ветви этой такой простой идеи).

Hex был изобретен Nash (мало лет раньше это изобрел Пьет Еин). Связь этой игры с теоремой Иордана очевидна, не тяжело пробовать эквивалентность. С Brouwer он тяжелее, но выходит: существование равновесия Nash - прямое следствие этой теоремы (и он стоил ему Нобелевскую премию). Для другого вовлечения, только нужно проверять то, что мы сделали наверху, идею Дэвид Гале.

* * *

Идея, которая соединяет их, состоит в том, что у воды нет формы, но раскрывает нам форму мест, которую он занимает. Служите нравоучением, или лучше, что он служил основанием для демонстрации какой-то другой теоремы.

* * *

(специальный для Математического, организованного Карнавала этот раз из-за Тито Элиатрон)

Torrent The Secret Life of The American Teenager S02E23 I Got You, Babe now